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数学上下三万年(七):二十世纪上半叶的数学

  从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

  这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

  人类历史上第一次世界大战和第二次世界大战在这一时期发生,战争催生了科技进步,同时数学也向两个完全不同的方向发展——与现实需求结合的应用数学,以及更加理论化抽象化的基础数学。这段时间数学界大师辈出,重要的历史节点不断。而中国进入民国时期,现代大学制度开始确立。知识界开始宣扬引进“德先生”和“赛先生”。这个时期,中国也催生不少大师。

  本期出场人物有:希尔伯特、罗素、普朗克、勒贝格、哈代、拉马努金、爱因斯坦、庞加莱、外尔、凯恩斯、巴拿赫、谢尔宾斯基、塔尔斯基、科尔莫戈诺夫、布劳威尔、豪斯道夫、怀特海、诺特、阿廷、冯诺依曼、图灵、哥德尔、香农、丘奇、韦伊、维纳。

  希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上提出了23个问题作为20世纪的挑战。这些问题包括连续统假设、实数的良序化、哥德巴赫猜想、代数数的幂的超越性、黎曼猜想、“狄利克雷原理”的扩展等等。大部分问题在20世纪得到解决,每一个问题的解决都是数学界的一个重要事件。

  罗素(Russell)发现了“罗素悖论”,用一种简单的方式说明了朴素集合论固有的问题。

  求常微分方程数值解的龙格库塔法(Runge-Kutta method)被提出。

  庞加莱提出庞加莱猜想:每个同伦等价于3维球面的3维闭流形必定是3维球面。

  弗雷歇(Fréchet)在他的博士论文研究了度量空间的泛函,描述了紧致性的抽象概念。

  弗雷歇(Fréchet)发现了关于“平方勒贝格可积函数”空间上的泛函的积分表示定理。里斯(Riesz)独立地发现了相似的结果。

  爱因斯坦发表了他的等效原理,即重力加速度与机械力的加速度是无区别的。它是广义相对论的关键组成部分。

  希加德(Heegaard)和德恩(Dehn)出版了《位置分析》(Analysis Situs),标志了组合拓扑学的开端。

  布劳威尔(Brouwer)关于数学基础的博士论文对数学的逻辑基础提出了挑战,标志了直觉主义流派的开端。

  里斯(Riesz)证明了关于希尔伯特空间上傅立叶分析的“里斯-费舍尔定理”。

  哈代(Hardy)和温伯格(Weinberg)提出了一个定律来描述显性遗传特征和隐性遗传特征在一个群体中如何传播。奠定了群体遗传学的数学基础。

  策梅洛(Zermelo)出版了《论集合论基础》(Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre)。他把集合论建立在七个公理上:外延公理,基本集合公理,分离公理,幂集公理,并集公理,选择公理和无穷公理。旨在克服康托尔遇到的集合论困难。

  庞加莱出版了《科学与方法》(Science et méthode),这也许是他最著名的大众读物。

  爱德蒙·兰道(Edmund Landau)给出了解析数论的第一个系统介绍。

  罗素(Russell)和怀特海(Whitehead)出版了《数学原理》(Principia Mathematica)的第一卷。他们试图将整个数学建立在逻辑基础上。他们能够提供集合论、有限和超限算术、和基本测度论主要定理的详细推导。最后第三卷在三年后出版,而计划中关于几何的第四卷没有完成。

  谢尔盖·伯恩斯坦(Sergi Bernstein)在对魏尔斯特拉斯1885年一个定理的构造性证明中引入了“伯恩斯坦多项式”。

  哈代(Hardy)收到了拉玛努金(Ramanujan)的信。他把拉玛努金带到剑桥,他们共同写了5篇卓越的数论论文。

  豪斯道夫(Hausdorff)出版了《集合论的要点》(Grundzüge der Mengenlehre),其中他创建了一种拓扑度量空间的理论。

  比伯巴哈(Bieberbach)引入了“比伯巴哈多项式”,用于逼近将给定单连通区域共形映射到圆盘的函数。

  哈那德·玻尔(Harald Bohr)与爱德蒙·兰道(Edmund Landau)证明了关于ζ函数的零点分布的定理。

  谢尔宾斯基(Sierpinski)给出了第一个绝对正规数的例子,这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。

  豪斯道夫(Hausdorff)引入了“豪斯道夫维数”的概念,它是一个物体的拓扑维数与3之间的一个实数。它被用于研究例如科赫曲线年

  凯恩斯发表了他的《论概率》(Treatise on Probability),他认为概率是一个逻辑关系,因此是客观的。涉及概率关系的命题具有独立于人们意见的真值。这对统计和经济都有深远的影响。

  博雷尔(Borel)发表了一系列关于博弈论的论文,他成为第一个定义策略博弈的人。

  理查森(Richardson)出版了《通过数值过程预报天气》(Weather Prediction by Numerical Process)。他是第一个将数学方法,特别是有限差分法,用于预测天气的人。手算的计算让人望而却步,只有计算机的发展让他的想法得以实现。

  巴拿赫(Banach)由于一篇关于测度论的论文而获得讲师资格。他开始了关于赋范向量空间的工作。

  切博塔廖夫(Chebotaryov)证明了关于算术级数中素数密度的定理。

  怀特海(Whitehead)出版了《科学与当代世界》(Science and the Modern World)。它来源于在美国的一系列讲座,成为他后来的形而上学的导论。他考虑了“科学唯物主义”(自然界只有物质和能量)的成长、成功与影响。

  贝西科维奇(Besicovitvch)解决了关于最小面积的“挂谷问题”。

  克鲁尔(Krull)证明了关于分解阿贝尔算子群的“克鲁尔-斯密特定理”。

  阿廷(Artin)与施雷尔(Schreier)发表了关于有序化形式实域与实闭域的论文。

  埃米·诺特(Emmy Noether),赫尔姆特·哈塞(Helmut Hasse)和理查·布劳尔(Richard Brauer)开展关于非交换代数的工作。

  范德瓦尔登(Van der Waerden)出版了重要著作《现代代数学》(Modern Algebra)。这部两卷本著作展示了由诺特、希尔伯特、戴德金和阿廷发展的代数学。

  胡尔维茨(Hurewicz)证明了关于可分度量空间到紧致空间的嵌入定理。

  乔治·戴维·伯克霍夫(G D Birkhoff)证明了一般遍历定理。通过使用勒贝格测度,将麦克斯韦-玻尔兹曼气体分子运动理论转变为严格的原理。

  哥德尔(Gödel)发表了《在数学以及相关系统中的形式不可判定命题》(Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme)。他证明了关于公理系统的基础性结果,表明在任何包含算术系统的公理化数学系统中存在不能在公理系统内被证明或证伪的命题。特别地公理的相容性不能被证明。

  冯·诺依曼(Von Neumann)出版了关于量子力学的《量子力学的数学基础》

  格尔丰德(Gelfond)与施奈德(Schneider)分别独立地证明了和希尔伯特第七问题有关的命题。他们证明了当a是代数数(不等于0和1)且q为无理代数数,a^q为超越数。

  佐恩提出了“佐恩引理”,该引理可能由杜奇(Tukey)命名。它等价于选择公理。

  邱奇(Church)发明了“λ演算”,对于今天的计算机科学家是一件无价的工具。

  1937年,维诺格拉多夫(Vinogradov)出版了《关于素数理论的一些定理》(Some theorems concerning the theory of prime numbers),其中他证明了每个充分大的奇整数可以表为三个素数之和。这是对解答哥德巴赫猜想的重要贡献。

  道格拉斯(Douglas)给出了普拉托问题的完整解答,证明了给定一个边界存在一个极小曲面以它为边界。

  亚伯拉罕·艾伯特(Abraham Albert)开始关于非结合代数的工作。

  斯廷罗德(Steenrod)发表了一篇论文,其中首次引入了“斯廷罗德平方”。

  艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)发表了一篇论文,首次引入了“Hom”与“Ext”。

  纳依玛克(Naimark)证明了关于希尔伯特空间中算子的自伴代数的“盖尔芳德-纳依玛克定理”。

  艾伦伯格(Eilenberg)和麦克兰恩(Mac Lane)引入术语“范畴”和“自然变换”。

  乔治·伯纳德·丹齐格(George Dantzig)引入了最优化问题的单纯形法。

  香农(Shannon)发明了信息论,并应用数学方法来研究信息传输的误差。这在计算机科学与通信是至关重要的。

  莫奇莱(Mauchly)和爱克特(John Eckert)建造了二进制自动计算机(BINAC)。这台机器的一个重要进步是将数据存储在磁带上而不是穿孔卡片。

  塞尔伯格(Selberg)和埃尔德什(Erdös)找到了素数定理的一个不使用复变函数论的初等证明。

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